Смысл последнего предложения из рассказа Ю. П. Казакова я понимаю так: пес был достоин имени немеркнущей звезды, потому что он достойно жил и достойно умер. Приведу аргументы из текста.
Во-первых, пес Арктур был необычайно стойким к жизненным обстоятельствам. Несмотря на то, что он был слепым, «его отличали неудержимое любопытство, смелость и желание жить полной жизнью». Кроме того, он «никогда не визжал и не скулил, напрашиваясь на жалость, хотя жизнь была жестока к нему». Своим оптимизмом, а также собачьими качествами, «тончайшим чутьем и великолепным слухом», он очень нравился рассказчику.
Во-вторых, последние минуты своей жизни Арктур прожил достойно и, умирая, не жаловался. Когда его, раненого, стегнул кнутом пастух, он не взвизгнул, не огрызнулся, а молча ушел. (предложение 31). Умирая, он истекал кровью, ему было необычайно больно, но он даже не скулил. (предложения 34, 35)
Таким образом, автор выражает восхищение стойкостью и терпением собаки, которая, по его мнению, была достойна имени звезды Арктур.